ok, nachdem hier aufklärungsbedarf besteht, ein kurzer ausflug in die wunderliche welt der stochastik
dafür benötigt es keinerlei pseudoprogramm, dass am ende 10,0003442 ausspuckt.
der zum
durchschnitt äquivalente begriff in der stochastik ist der
erwartungswert. man spricht von einer sogenannten
zufallsvariable X, wenn X etwas misst, d.h., wenn es gewissen ereignissen messbare werte zuordnet. in der regel sind diese messbaren werte natürliche zahlen, ganze zahlen oder reele zahlen (man kann aber bei bedarf mit der richtigen algebra auch mit knödelteig oder grünen männchen messen... das lassen wir aber mal außen vor)
der erwartungswert
E(X) einer zufallsvariable X ist dann der durchschnittliche wert, der allen ereignissen zugeordnet wird.
er berechnet sich wie folgt:
E(X) = [summe über alle möglichen ereignisse A] P(A)*X(A)
d.h. dem ereignis A wird durch X der wert X(A) zugewiesen und P(A) ist die W., dass dieses ereignis eintritt.
in unserem fall wählen wir eine sehr praktische zufallsvariable X, nämlich die, die misst, wie oft man mit einem splitter reisen kann, d.h. ereignis "man kann exakt 7 mal reisen" kriegt den wert 7. sehr einleuchtend ^^
um jetzt den erwartungswert zu berechnen, müssen wir nur P(A)*X(A) für alle möglichen ereignisse ausrechnen.
das ereignis A "man kann exakt x-mal reisen" kriegt den wert X(A)=x und hat die chance
P(A)= 0,9^(x-1)*0,1
d.h. (x-1)mal löst sich der splitter nicht auf, einmal schon.
man kann immer mindestens 1x reisen, nach oben ist das ganze offen (bei manchen zufallszahlengeneratoren nicht - da kann bricht so eine kette immer spätestens nach so und so vielen malen ab, ist aber ziemlich irrelevant), aber es gibt keine anderen ereignisse wie "man kann genau -1 mal reisen", "man kann genau 3,445x reisen", "blumentopf schmeckt gut" oder "die splitterkosten sind zu hoch"
setzen wir das ein und summieren ALLE möglichen ereignisse auf, kriegen wir eine unendliche summe:
E(X) = 0,1*1 + 0,9*0,1*2 + 0,9^2*0,1*3 +0,9^3*0,1*4 + ...
die 0,1 kann man hier ausklammern und dann hat man
=0,1*(0,9^0*1+0,9^1*2+0,9^2*3+0,9^3*4+...)
erstmal beide seiten mal 10:
10*E(X)=0,9^0*1+0,9^1*2+0,9^2*3+...
jetzt wenden wir trick 17 an
zuerst machen wir die 2 zu 1+1, die 3 zu 1+1+1, die 4 zu 1+1+1+1 etc. und kriegen folgende summenbildung, wenn wir geeignet umstellen:
=(0,9^0+0,9^1+0,9^2+0,9^3+0,9^4+....)+(0,9^1+0,9^2+0,9^3+0,9^4...)+(0,9^2+0,9^3+0,9^4+...)+...
die summen in den klammern haben alle was gemeinsam: die exponenten steigen. wir können bei der zweiten klammer 0,9^1, bei der dritten klammer 0,9^2 etc. ausklammern und haben dann:
=(0,9^0+0,9^1+0,9^2+0,9^3+....)+0,9*(0,9^0+0,9^1+0,9^2+0,9^3+....)+0,9^2*(0,9^0+0,9^1+0,9^2+0,9^3+....)+...
d.h. das in den klammern ist jeweils identisch und damit können wir die
klammern ausklammern und wenn man genauer hinschaut merkt man gleich:
10*E(X) = (0,9^0+0,9^1+0,9^2+0,9^3+....)*(0,9^0+0,9^1+0,9^2+0,9^3+....) = (0,9^0+0,9^1+0,9^2+0,9^3+....)^2
das in klammern nennt der mathematiker geometrische reihe: G(y) := y^0+y^1+y^2+y^3+y^4+...
ist die reihe wie in unserem fall unendlich, dann
konvergiert sie für |y|<1, d.h. sie nimmt einen festen wert an. bei y>=1 wandert sie gegen unendlich, bei y=-1 springt sie zwischen 1 und 0, und bei y<-1 springt sie ganz fuchsteufelswild betragsmäßig gegen minus undendlich oder plus unendlich, das kann man nicht so genau sagen
aber in unserem fall ist y=0,9 und da konvergiert sie.
es gilt bei konvergenz: G(y) = 1/(1-y), nachzulesen bestimmt sogar in der schulformelsammlung, bei uns also G(0,9)=10. (man kennt sicher das beispiel: ich mache erst einen 1m-schritt, dann 50cm, dann 25cm, dann 12,5cm usf. wer das mal ausprobiert, wird merken, dass er nie 2m erreicht, aber beliebig nahe rankommt. bei unendlich vielen schritten erreicht man die 2, was das gleiche ist wie 1/(1-0,5))
zurück zur rechnung: 10*E(X)=G(0,9)^2=10^2=100 => E(X)=10.
folglich: im schnitt weist unsere zufallsvariable X einem beliebigen ereignis A den wert 10 zu und das bedeutet, weil wir unser X so schön simpel gewählt haben, dass im schnitt 10 sprünge rausspringen....
sotrax: bitte korrigier dein pseudo-monte-carlo-programm, ist ja grauenhaft....
zum thema zufallszahlen: die MEISTEN generatoren in pcs HABEN eine schleife. ich gehe schwer davon aus, dass sich bei heutigen 64-bit rechnern die zufallszahlen nach exakt 2^63 ausgaben wiederholen. das ist aber soviel, dass es vernachlässigbar ist. in der größenordnung 2^31 (=~2.000.000.000) dürfte die minimal- und maximalzahl an wiederholungen liegen, d.h. bei 10.000.000.000 münzwürfen dürfte immer mindestens 1 kopf und eine zahl auftauchen (in der stochastik ist das ja nicht garantiert). würde es im casino nicht die option "fällt neben die schale - du hast verloren" geben, könnte man das bei einem grundkapital von etwa 2^63 gm ausnutzen und im casino gold machen... ^^ (wenn das casino einen eigenen generator hat und man die einzige spielende person ist...)
aber gerade hege ich ernsthafte zweifel, ob das casino auch wirklich fehlerfrei programmiert ist
