Matheaufgabe bereitet Schülern und Lehrer Probleme

[Este Vao]

Hallo,

ich habe meinen Lehrer gebeten mir die korrekte Lösung zu einer Aufgabe zu geben, nachdem ich laut seiner Aussage schon eine gute, aber nicht von ihm nach Richtigkeit überprüfte Argumentation hatte. Als er die Lösung heute vorgerechnet hat, konnte ich sie nicht nachvollziehen, aber seht selbst.

Teilaufgabe e)

Von allen Rechtecken, die zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [0;3] eingeschlossen werden (eine Seite liegt auf der x-Achse), hat eines den größten Flächeninhalt.
Stellen Sie eine Zielfunktion auf und beschreiben Sie (ohne weitere Rechnung) eine Lösungsstrategie, wie man dieses Rechteck finden kann.

Ich hätte nun aber schon gerne eine Rechnung zum besseren Nachvollziehen.

Wichtige Informationen:

f(x)= 0,5x²*(x-3)²

kein Plan, warum die es so geschrieben haben

Wer sich im Stande fühlt, die Aufgabe lösen zu können und Lust zu knobeln hat, mag bitte hier posten.

[Mousepad]

x*f(x) soll maximal werden, eh?

Schreib' mal x*f(x) hin, leite es ab, such die Nullstelle der Ableitung in [0;3] und setz' es in f(x) ein; sollten die Seiten werden, wenn ich gerade richtig denke.

--

Edit: Actually, nevermind. Ich dachte, beide Seiten seien die Achsen; man sollte sich die Funktion schon mal anschauen.

[Andi90]

Gesucht ist die Fläche des Rechtecks. Also Fläche = Breite * Höhe.
Der Graph hat ein Maximum bei 1.5 und bei 0 und 3 eine Nullstelle. Da es ein Graph 4. Ordnung ist, ist er symmetrisch, was du nutzen kannst: Das ganze wird halbiert, das zu untersuchende Intervall ist nun [0;1.5].
Die Grundseite des Rechtecks ist x. Die Höhe ist f(1.5-x), da das halbe Rechteck auf der x-Achse und bei x=1.5 anliegt. (Es geht also von x=1.5 nach links weg, Fragen, wenn du das nicht verstehst^^)

Daraus ergibt sich die Zielfunktion: A(x) = x * f(1.5-x), also: A(x) = x * 0,5*(1.5-x)² * ((1.5-x)-3)² (Vereinfachen nach Belieben)

Diese Funktion wird nun abgeleitet und die Nullstellen gesucht. Im Ideal-(und Normal-)fall ist das ein Maximum im Intervall [0;1.5]. Diese x-Stelle zeigt die linke untere Ecke des Rechecks, die y-Stelle die links oben. Spiegeln an x=1.5, wenn du das ganze Rechteck brauchst.

EDIT: Hab grad ein bisschen rumgerechnet und komm auf x=0.641... Scheint mir aber etwas ungewöhnlich für ne Schulaufgabe^^ Also Fehler vorbehalten.
EDIT2: Obwohl, es sieht zumindest realistisch aus.

[Este Vao]

@Andi, drei Sachen: eine ähnliche Lösung hat mein Lehrer auch gegeben, aber:
1) das Rechteck wird auch um 1,5 verschoben also die muss das beim ersten x miteinbezogen werden.
2) wäre es nicht f(x-1,5) und der Rest entsprechend auch andersrum? Sagt mein Lehrer jedenfalls.
3) Was soll mir dieses Maximum dann zeigen? Die x-Stelle, die für die Funktion f(x-1,5) mir das entsprechende Integral [0;x] liefert? Warum muss ich es aber dann überhaupt verschieben? Würde die Funktion nicht ohnehin mehrere Nullstellen liefern und ich müsste einfach diejenigen auswählen, die am dichtesten an 1,5 liegen... ?

PS: Außerdem ist er fünften Grades, die Ableitung ist vierten Grades.

[Andi90]

@Andi, drei Sachen: eine ähnliche Lösung hat mein Lehrer auch gegeben, aber:
1) das Rechteck wird auch um 1,5 verschoben also die muss das beim ersten x miteinbezogen werden.
Nein, das erste x wird von dir definiert und das zweite (im f(..)) wird daran angepasst. Das erste ist nicht direkt der x-Achsen-Abschnitt, sondern eigentlich (x2-x1) also die Differenz zwischen dem Mittelpunkt und der Ecke der Basis des Rechtecks.
2) wäre es nicht f(x-1,5) und der Rest entsprechend auch andersrum? Sagt mein Lehrer jedenfalls.
Nein, da du von der Symmetrieachse nach links gehst, ist es (1.5-x). Du kannst auch nach rechts gehen, dann hast du (1.5+x), was ev. weniger Schwierigkeiten verursachen könnte.
3) Was soll mir dieses Maximum dann zeigen? Die x-Stelle, die für die Funktion f(x-1,5) mir das entsprechende Integral [0;x] liefert? Warum muss ich es aber dann überhaupt verschieben? Würde die Funktion nicht ohnehin mehrere Nullstellen liefern und ich müsste einfach diejenigen auswählen, die am dichtesten an 1,5 liegen... ?
Das Maximum zeigt dir an, bis wohin das Rechteck geht, damit die Fläche maximal ist. In diesem Fall (vorausgesetzt, meine Lösung stimmt), geht es von x=0.641 bis x=2.359 (bis zur Symmetrieachse x=1.5 und nochmals dieselbe Strecke). Die Höhe ist dann f(0.641), in der Anfangsfunktion.

PS: Außerdem ist er fünften Grades, die Ableitung ist vierten Grades.
f(x)= 0,5x²*(x-3)² => das gibt hoch 4, ist das nicht 4. Grad?

Grafik zu Illustration:

[Este Vao]

Würdest du in deinem Rechenweg die x-Werte in die Funktion f(x) oder in x*f(x) einsetzen?

[Andi90]

Achso, du musst natürlich jeweils die richtige Gleichung nehmen.
Die Anfangsfunktion ist f(x)= 0,5x²*(x-3)² . Die brauchst du am Anfang um die Zielfunktion zu formulieren und am Schluss ev. um die Höhe des Rechtecks auszurechnen.
Die Zielfunktion A(x) = x * f(1.5-x) ist die Fläche des gesuchten Rechtecks. Diese musst du ableiten um das Maximum von A(x), also die maximale Fläche zu finden.

Den ersten x-Wert, den du brauchst ist die Nullstelle, die in der Ableitung rauskommt.
ACHTUNG: Dieser Wert ist nicht das rote x in der Zeichnung, sondern direkt die Stelle auf der x-Achse (weil die Verschiebung schon in der A(x)-Funktion berücksichtig ist).

Aber nach der Aufgabenstellung wär die Aufgabe auch ohne dieses Einsetzen gelöst. Es dient nur dazu, die Fläche auszurechnen, was unter "weitere Rechnungen" fallen wird

[Este Vao]

Deine Zeichnung wird nicht angezeigt. Also verstehe ich richtig, dass die Nullstelle der abgeleiteten Funktion x*f'(x) in f(x) eingesetzt werden muss, damit ich den enstprechenden y-Wert bekomme? Oder muss ich das Integral von x*f(x) berechnen?

Ich erklär dir einfach mal meinen Lösungsweg und du kannst gucken, was daran anders ist. Vllt ist es sorum leichter^^

Also: Ich gehe davon aus, dass x*y die Fläche ist. Wird x kleiner, wird y größer. Es geht darum, das optimale Seitenverhältnis von x und y zu finden, damit x so wenig wie möglich sinkt, aber y ganz stark steigt, damit eine möglichst große Fläche herauskommt. Die Steigung von y ist an den Wendepunkten am größten. Also suche ich die Wendepunkte mit f''(x)=0. Diese x-Werte setze ich in f(x) ein und bekomme meinen y-Wert. Den entsprechenden x-Wert bekomme ich durch die Stellen der Wendepunkte (x2-x1). Die Differenz bildet das Intervall bzw. den x-Achsenabschnitt, also die Seitenlänge x des Rechtecks. Diese Seitenlänge wird nun mit dem y-Wert eines Wendepunkts multipliziert und das Ergebnis ist 1,93. Hast du mehr oder weniger Fläche?