Stochastik mal anders....

[drancer]

Du zählst aber, um deinem Vergleich zu entsprechen, 56 und 56 als zwei Ergebnisse.

Fall 1 ist bei dir der dienstags geborene Junge als 1. Kind.
Du gibst als mögliche 2. Kinder Mädchen und Jungen aller Wochentage ohne Dienstag an.
Ergibt 12 Kombinationen.
Dann zählst du nochmal 6 Mädchen dazu als 2. Kind, was du aber schon dazugerechnet hast.

Bei Fall 2 ist das zweite Kind der vorgegebene Junge, mit den 12 Möglichen Kindern als 1. Kind.
Und wieder zählst du 6 Mädchen dazu, obwohl sie schon dabei sind.

Und abschließend musst du die Wahrscheinlichkeiten zweier Teilergebnisse addieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bekommen. Versuch das mal mit deiner Theorie, wenn du schon das Ereignis teilst.

[Tijana]

Du zählst aber, um deinem Vergleich zu entsprechen, 56 und 56 als zwei Ergebnisse.

Fall 1 ist bei dir der dienstags geborene Junge als 1. Kind.
Du gibst als mögliche 2. Kinder Mädchen und Jungen aller Wochentage ohne Dienstag an.
Ergibt 12 Kombinationen.
Dann zählst du nochmal 6 Mädchen dazu als 2. Kind, was du aber schon dazu gerechnet hast.

Bei Fall 2 ist das zweite Kind der vorgegebene Junge, mit den 12 Möglichen Kindern als 1. Kind.
Und wieder zählst du 6 Mädchen dazu, obwohl sie schon dabei sind.

Und abschließend musst du die Wahrscheinlichkeiten zweier Teilergebnisse addieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bekommen. Versuch das mal mit deiner Theorie, wenn du schon das Ereignis teilst.

So funktioniert doch die gesamte Rechnung... Warum wird der Fall wo der J-Di Junge als 1. Kind angenommen mit dem Summiert wo er als 2. Kind angenommen wird? Dadurch verdoppelst Du den Jungen indem Du 2x aus seiner Perspektive schaust. dementsprechend musst Du auch die Mädchen verdoppeln sonst begehst Du einen Denkfehler.

Du kannst es genauso vereinfacht rechnen:

J-J = 6 Fälle
M-J = 6 Fälle
J-M = 6 Fälle

also 6/18 = 1/3

Erst wenn Du aus den J-J Fällen 12 machst indem Du J-Di sowohl als Kind 1 Berücksichtigst als auch als Kind 2, kommst Du auf

J-J = 12 Fälle
M-J = 6 Fälle
J-M = 6 Fälle

1/2 statt auf 1/3.

Warum berechne ich also die Mädchen doppelt?

Ein Gedankenexperiment: bevor die Eltern Kinder gekriegt haben, hatten sie sich überlegt wie sie ihre Kinder nennen würden: wenn es Jungen werden, Rondo und Blizz wenn es Mädchen werden Lauranthalas und Luna. Zu diesem Zeitpunkt hatten sie für jeden Namen eine Chance von 1:4.
Dann ist an einem Dienstag ein Junge geboren (den sie entweder Blizz oder Rondo benannt haben) und jetzt fragen wir uns welche Chancen die restlichen 3 Namen haben:

Was der vorgeschlagene Lösungsweg machen würde wäre:

Fall 1: Blizz wurde an einem Dienstag geboren:
Für das andere Kind gibt es dann folgende 12 Varianten:
Rondo 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So) + Lauranthalas 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So)
In 6 Fällen davon gibt es 2 Jungen.

Fall 2: Rondo wurde an einem Dienstag geboren
Für das andere Kind gelten 12 Varianten:
Blizz 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So) + Lauranthalas 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So)
In 6 Fällen davon gibt es 2 Jungen.

Würde folgende Rechnung ergeben: (6+6)/(12+12) = 12/24

Gekürzt: 1/2

Ich sehe das als falsch an und würde hingegen vorschlagen:

Fall 1: Blizz wurde an einem Dienstag geboren:
Für das andere Kind gibt es dann folgende 18 Varianten:
Rondo 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So) + Lauranthalas 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So) + Luna 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So)
In 6 Fällen davon gibt es 2 Jungen.

Fall 2: Rondo wurde an einem Dienstag geboren
Für das andere Kind gelten 18 Varianten:
Blizz 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So) + Lauranthalas 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So) + Luna 6x (Mo, Mi, Do, Fr, Sa, So)
In 6 Fällen davon gibt es 2 Jungen.

Würde folgende Rechnung ergeben: (6+6)/(18+18) = 12/36

Gekürzt: 1/3

Wer vergisst, dass die Variablen ex ante eben JJ JM MJ MM waren kommt zu dem Trugschluss. Nachdem ein Junge draußen ist bleibt JJ JM MJ.
Um dem gerecht zu werden müssen die Mädchen eine doppelte Chance haben. Ich finde das nicht so kompliziert, aber dennoch:

In meinem Gedankenexperiment muss ich sowohl Lauranthalas als auch Luna berücksichtigen. Und Abstrakt in meiner Berechnung eben zu den 24 Fällen aus der Perspektive des Jungen noch die 12 aus der Perspektive der Mädchen dazurechnen.

Und wir können lange Philosophieren welcher Weg der richtige ist. Meiner hat einen kleinen Vorteil: das Ergebnis ist richtig, ganz einfach weil es empirisch belegbar ist
Jede andere Argumentation ist sophistisch, die ursprünglich vorgeschlagene "Lösung" berechnet was auch immer aber nicht das was sie vorgibt zu berechnen, denn das Ergebnis ist nicht belegbar.

Aber ich nehme gerne Wetten an, darüber wie die Chancen nun wirklich stehen, ein Weg das ganze zu simulieren lässt sich sicher finden

[Giga]

Ich gestehe, ich habe Stoachastik nie in einem ausreichenden Umfang behandelt, aber... ist es nicht völlig unnötig, den Wochentag als relevant hinzuzunehmen? Die Fragestellung lautet doch:

Ein Mann hat zwei Kinder. Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?

Folglich haben wir als Information lediglich bekommen, dass ein Junge an einem Dienstag geboren wurde. Trotz allem bleiben nur folgende Szenarien übrig:

JJ - JM - MJ, mit dem Zusatz, dass mindestens einer der beiden Jungen an einem Dienstag geboren wurde. Eine logische Folge davon ist, dass die Zuhilfenahme der Wochentage das Ergebnis nicht verfälscht (da sie eben absolut irrelevant sind) was als einzige richtige Lösung 1/3 zulässt, einzig über den Lösungsweg lässt sich hier debattieren.

Das Problem hat Tijana, wenn ich das richtig sehe, erkannt: Da zuerst betrachtet wird, was wäre, wenn der Dienstags geborene Junge der Erstgeborene wäre, ist Fall JJ eigentlich zur Genüge behandelt (da es eben nicht Fall J1J2 und Fall J2J1 gibt). Da dieser Fall trotzdem zweimal betrachtet wird (eben mit dem Dienstags-Jungen als Zweitgeborenem) müssen folgerichtig auch die Mädchen doppelt gezählt werden (auch, wenn es sicherlich einfacher wäre, sowohl Jungen als auch Mädchen nur einmal zu zählen).

Ansonsten, die 1/3 sind auf jeden Fall richtig (also bei dem "normalen" Rätsel). Die Möglichkeiten für zwei Kinder sind ja generell

MM - MJ - JM - JJ

Dadurch, dass ein Junge als gegeben vorrausgesetzt wird, bleiben nur noch drei Möglichkeiten, von denen nur eine zwei Jungen enthält. Ist vielleicht (zu?) stark vereinfacht, aber ich habe höhere Stochastik nie beigebracht bekommen und muss mir so behelfen.

[drancer]

Simulieren? ok...

SpoilerShow

<?php
$count = 0;
$gesamt = 0;
$durchlauf = $_POST["durchlauf"]; //1 und 15-> J Mo
//$durchlauf = 100000; //2 und 16-> J Di
if ($durchlauf > 0) //3 und 17-> J Mi
{for ($i = 0; $i < $durchlauf; $i++) //4 und 18-> J Do
{$a = $durchlauf + $i; // etc
$$i = 0; //11 und 25-> M Do
$$a = 0; //12 und 26-> M Fr
$$i = rand(1,14); //13 und 27-> M Sa
$$a = rand(15,28); //14 und 28-> M So

if ($$i == 2 or $$a == 16) // bei wievielen Paaren ist mindestens ein Junge dabei?
{$gesamt++;}
if ($$i == 2 And $$a > 14 and $$a < 22) // bei wievielen paaren, wobei das erste Kind der J-Di ist,
{$count++;} // ist auch das zeite Kind ein Junge?
if ($$a == 16 And $$i < 8 and $$i != 2) // dasselbe für das zweite Kind
{$count++;} // bezogen auf das erste wobei beide Jungen Dienstag schon vorher gezählt wurde
// echo $i;
// echo ": ";
// echo $$i; bei belieben die Kommtierung der echos entfernen, aber achtung
// echo " - ";
// echo $$a;
// echo "<br>";
}}
if ($gesamt > 0 )
{$percent = $count/$gesamt;}
else
{$percent = 0;}

echo "Durchläufe: ";
echo $durchlauf;
echo "<br>";
echo "Anzahl der Paare mit mindenstens einem Jungen: ";
echo $gesamt;
echo "<br>";
echo "Anzahl der Paare mit zwei Jungen: ";
echo $count;
echo "<br>";
echo "in Prozent: ";
echo $percent;?>

Testscript
(nicht mehr als 314.000 Durchläufe auf einmal, da sonst overflow)

Das Script ist nicht wirklich gut, aber es tut was es soll: beliebig viele Kombinationen zweier Zahlen erschaffen (Zahlen, weil ich die Zufallszahl nicht noch per Array dem Junge-Mädchen-Kürzel zuordnen wollte).
Dann wird gezählt:
a) bei wievielen mindestens ein Junge dabei ist
b) wenn das erste Kind ein Junge ist und dienstags geboren wurde: bei wievielen ist das zweite Kind auch ein Junge (hier fällt auch J-Di + J-Di dazu) ?
c) wenn das zweite Kind ein Junge ist und dienstags geboren wurde: bei wievielen ist das erste Kind auch ein Junge, aber nicht am dienstag geboren (da in b schon gezählt)?

Und wer den Autoren, die im Anfangspost stehen, immernoch nicht glaubt, der solle sich mal die von mir vorgeschlagene Tabelle zeichnen.

[Lesezeichen]

Ich glaube, ich verstehe, wieso sich die Wahrscheinlichkeit ändert.
Man nähert sich 50% an, weil man nun zwischen JJ und JJ unterscheidet, so wie man vorher zwischen MJ und JM unterschieden hat.
Ist der Gedankengang richtig, den ich habe,, nehm ich das von vorher zurück.
Wenn man aus J-Di ein J-Di-2. Januar machen würde, beispielsweise, würde man sich wohl aufgrund der unendlichen Kombinationen noch näher an 50% nähern.

Sprich das 1/3 ist eine Rundungssache, weil der eine Fall, der immer herausfällt, weil absolut gleich, dort noch so sehr ins Gewicht fällt.

[TarX]

Ich bin der Meinung das beim 1. die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt.
MJ und JM sind für mich das gleiche, somit bleiben 2 Varianten und nicht 3.
Und das mit den Würfeln is schon richtig, trotzdem bleib ich bei meinen 50%.

[Giga]

Ich bin der Meinung das beim 1. die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt.
MJ und JM sind für mich das gleiche, somit bleiben 2 Varianten und nicht 3.
Und das mit den Würfeln is schon richtig, trotzdem bleib ich bei meinen 50%.

Äh, das auf jeden Fall nicht. Überlegs dir mal so:

Am Anfang (beim ersten Kind) gibt's eine 50/50 Chance: Entweder J oder M. Das heißt:

Wenn Junge: Mögliche Varianten: JJ, JM (=> Nur eine Möglichkeit für 2 Jungen)
Wenn Mädchen: Mögliche Varianten: MJ, MM (keine Möglichkeit für 2 Jungen)

Die Wahrscheinlichkeit, generell 2 Jungen zu bekommen, liegt also bei 25%. Durch die zusätzliche Information, dass es auf jeden Fall mindestens einen Jungen gibt, fällt der Fall MM weg und es gibt nur noch 3 Möglichkeiten, von denen nur eine zwei Jungen enthält => 33%.