[Matheproblem] vollständige Induktion

[Daki]

Hey,

ich bins mal wieder mit nem Mathe Problem *g*

Wie es der Titel schon sagt geht es um vollständige Induktion:
"Man untersuche mittels vollständiger Induktion, für welche n >= 0 die angegebene Ungleichung gilt"
(9*n^3)-3 <= 8^n

Ich war so frei die beiden Funktionen in Mathcad darzustellen - ich hab jetzt nen kontinuierlichen Verlauf gewählt da man es besser sehen kann, aber für die Ungleichung würden korrekterweise nur die ganzzahligen Werte für n gelten (0,1,2,3,4,...)


Den einzigen Lösungsweg den ich wüsste, konkret für n Werte einsetzen, dann kommt man drauf, dass diese Gleichung in einem kleinen Bereich nicht stimmt.
Wie kann man aber mittels Induktionsschritt, sprich n => n+1, diese Ungleichung untersuchen?

lg

[WILLenloser Zombie]

Ich würde den Induktionsanfang (hieß das so? ach naja, weißt schon was ich meine) mit dem n machen, für das für alle größeren n die Ungleichung erfüllt ist und das dann mittels Induktion zeigen (dürfte dann n = 3 seien?), und dann würde ich die verbleibenden Fälle einfach noch einzeln zeigen, wäre dann also so wie ich das sehe für n = 2, n = 1 und n = 0...

Keine Ahnung ob das so legitim ist, würde meiner Meinung nach aber alle n abdecken...

[Artemisjünger]

Im Induktionsanfang zeigst du das die Ungleichung für n=3 gilt, danach machst du ganz allgemein den Induktionsschritt und dürftest dabei irgendwann mal verwenden müssen, dass n>=3 ist. Anschließend schaust du die Fälle 0, 1 und 2 gesondert an.

Induktionsschritt: 9*(n+1)³ -3=9n³+27n²+27n+1-3
8^(n+1)=8^n*8
zZ: 8>(9n³+27n²+27n+1-3)/(9n³-3) für n>=3

Das kannst du jetzt entweder als Polynomdivision durchführen, oder wegen fallender Monotonie (Grenzwert ist 1<8) und einsetzen von n=3 zeigen.